1. そもそも有限母集団補正（FPC）とは何か

まず思想からです。

無限母集団の前提

統計の多くの基本式は次を前提にしています。

• 母集団は非常に大きい（＝無限とみなす）
• 抽出しても母集団の性質はほぼ変わらない

この前提のもとで導かれたサンプルサイズが$$n_\infty = 25$$です。

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有限母集団で何が起きるか

母集団が 有限（N件） の場合：

• 1件サンプルを取るたびに
  → 残りの母集団が減る
• 情報量の増え方が
  → 無限母集団より「速い」

つまり：

同じ精度を得るのに、無限母集団ほど多くのサンプルは要らない

これを調整するのが 有限母集団補正（Finite Population Correction: FPC） です。

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2. 出発点は「分散」の補正

この式の正体は、もともと 分散の補正式 です。

無限母集団での標本分散（イメージ）

$$Var(\bar{x}) = \frac{\sigma^2}{n}$$

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有限母集団での標本分散

有限母集団では、分散は次のようになります：$$Var(\bar{x}) = \frac{\sigma^2}{n} \left( \frac{N-n}{N-1} \right)$$

この$$\frac{N-n}{N-1}$$

が 有限母集団補正（FPC）係数 です。

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3. 「同じ精度」を要求する、がカギ

内部監査の文脈ではこう考えます。

無限母集団で n∞件 取ったときと
有限母集団で n補正件 取ったときの
精度（分散）を同じにしたい

つまり：$$\frac{\sigma^2}{n_\infty} = \frac{\sigma^2}{n_{\text{補正}}} \left( \frac{N-n_{\text{補正}}}{N-1} \right)$$

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4. 数式を整理する（ここが核心）

σ²を消すと：$$\frac{1}{n_\infty} = \frac{1}{n_{\text{補正}}} \left( \frac{N-n_{\text{補正}}}{N-1} \right)$$

両辺を整理します。

両辺に n補正n_{\text{補正}}n補正​ を掛ける

$$\frac{n_{\text{補正}}}{n_\infty} = \frac{N-n_{\text{補正}}}{N-1}$$n∞​n補正​​=N−1N−n補正​​

両辺を交差計算

$$n_{\text{補正}}(N-1) = n_\infty (N-n_{\text{補正}})$$

両辺を展開

$$n_{\text{補正}}N – n_{\text{補正}} = n_\infty N – n_\infty n_{\text{補正}}$$

n補正n_{\text{補正}}n補正​ をまとめる

$$n_{\text{補正}}N – n_{\text{補正}} + n_\infty n_{\text{補正}} = n_\infty N$$$$n_{\text{補正}} ( N – 1 + n_\infty ) = n_\infty N$$

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5. 最終形（ 有限母集団補正（FPC）で使用した式）

$$n_{\text{補正}} = \frac{n_\infty N}{N + n_\infty – 1}$$

分母・分子を $N$N で割ると：$$n_{\text{補正}} = \frac{n_\infty}{ 1 + \frac{n_\infty – 1}{N} }$$

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6. 監査の言葉に翻訳すると

この式はこう言っています：

無限母集団前提で25件必要だったサンプルは、
母集団が有限なら
「母集団サイズに応じて割り引いてよい」

よって：

• N=150 → 22件
• N=1000 → ほぼ25件

となる。

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7. まとめ

有限母集団補正式は、無限母集団で想定される標本分散と、有限母集団での標本分散が等しくなるように定義されている。
その結果、無限母集団で必要とされるサンプル数 $n_\infty$n∞​ は、母集団サイズ $N$N を考慮して$$n_{\text{補正}}=\frac{n_\infty}{1+\frac{n_\infty-1}{N}}$$

と補正される。

以上