第５章

有限母集団補正を用いた拡大サンプルの考え方

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５-1. 有限母集団補正（FPC）の本質

有限母集団補正とは、

「母集団が有限で、しかも抽出割合が無視できない場合は、
無限母集団を前提にしたサンプル数は過大になる」

という極めて素朴な考え方である。

数式で表すと：$$n = \frac{n_\infty}{1 + \frac{n_\infty – 1}{N}}$$n=1+Nn∞​−1​n∞​​

• $n_\infty$n∞​：無限母集団の場合のサンプル数
• $N$N：母集団サイズ
• $n$n：有限母集団補正後サンプル数

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５-2. なぜ「25件」が基準として残るのか（再確認）

無限母集団では：

• 信頼水準：90％
• 許容逸脱率：10％
• 逸脱0件

→ 必要サンプル数 = 25件

これは：

• 二項分布上、90％を明確に超える
• 予想逸脱率に依存しない
• 実務上の余裕を含む

ため、不動の基準値として使われる。

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５-3. 有限母集団（例：150件）の初期サンプル

① 補正計算

$$n = \frac{25}{1 + \frac{24}{150}} = \frac{25}{1.16} \approx 21.6$$n=1+15024​25​=1.1625​≈21.6

👉 統計的に、22件程度が望ましいという結論になる。

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５-4. では「1件不備が出た場合」はどうするか

ここが本題です。

発想の原則

有限母集団補正後であっても、
拡大サンプルの論理は「無限母集団の構造」を縮小適用する

つまり：

• 無限母集団
  • 25件 → 1件不備 → 合計42件（25＋17）
• 有限母集団
  • 初期：22件
  • 1件不備 → 合計サンプルを補正後42件換算まで引き上げる

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５-5. 150件の場合の拡大サンプル（具体例）

① 無限母集団の拡大基準

• 合計サンプル：42件
• 許容逸脱数：1件

② 有限母集団補正

【拡大サンプルの補正式】

$$n_{\text{追加,補正}} = \frac{n_{\text{追加},\infty}} {1 + \frac{n_{\text{追加},\infty}-1}{N – n_\text{補正}}}$$【条件の整理】

有限母集団補正後の初期サンプル $$n_\text{補正} = 22$$

母集団 $$N = 150$$

無限母集団の基準 $$n_\infty = 25,\quad n_{\text{追加},\infty} = 17$$

【数値代入】

$$n_{\text{追加,補正}} = \frac{17} {1 + \frac{17 – 1}{150 – 22}} = \frac{17} {1 + \frac{16}{128}} = \frac{17}{1.125} = 15.11$$

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【結論】

$$n_{\text{追加,補正}} \approx 15.1$$

👉 拡大サンプルを　15件

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③ 実務的な整理

区分	件数
初期サンプル	22
追加抽出数	15
拡大後合計	37件

つまり：

150件母集団・初期22件・1件不備 → 追加≒15件で拡大有効

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５-6. なぜ「25＋17」をそのまま使わないのか

理由は明確です。

有限母集団では：

• すでに母集団の相当割合を直接観測している
• 推計誤差が無限母集団より小さい

それにもかかわらず：

• 無限母集団と同じ42件を見るのは
  👉 合理的保証を超えた過剰監査

になるためである。

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５-7. 実務ルールとしての整理

初期評価

母集団	初期サンプル	不備0
無限	25	有効
150	22	有効

1件不備があった場合

母集団	合計サンプル	追加
無限	42	+17
150	37	+15

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５-8. この章の結論（重要）

✅ 有限母集団補正を行っても、
拡大サンプルの論理構造は「25＋17」と同一

✅ 違うのは「母集団の大きさに応じて縮小する」点だけ

✅ 150件母集団では
初期22件 → 1件不備 → 合計37件が合理的